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\documentclass[12pt,t,aspectratio=169,mathserif]{beamer}
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\begin{document}

\title{高等代数一}
\subtitle{20-向量空间的基与维数-坐标}
%\institute{上海立信会计金融学院}
\author{{\ppr LQW}}
%\renewcommand{\today}{{\ppr \number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日} }
\date{{\ppr 2022年12月1日} }

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{内容提要 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item  向量空间的基
\item  向量空间的维数
\item  向量关于一个基的坐标 
\item  向量空间的基的存在性
\item  维数公式
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{20.1. 向量空间的基}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}定义：设 $V$ 是数域 $F$ 上的向量空间。$V$ 中的一组有序向量 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\Phi= (\alpha_1,\alpha_2,\cdots, \alpha_n)
\end{eqnarray*}
} 
如果满足下述两个条件，那么称为是 $V$ 的一个基，}
\begin{enumerate}
\item {\color{red}向量组 $\Phi$ 是线性无关的，}
\item {\color{red}$V$ 中每个向量都是 $\Phi$ 的线性组合，即 $V=L(\Phi)$. }
\end{enumerate}

\item  例子1：设 $V=\mathbb{R}^2$, 则下述向量组 $\Phi=(e_1,e_2)$ 是 $V$ 的一个基，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \,\,\,  
e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
} 
\item  解答：1. 线性无关，2. 线性组合。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{20.2. 向量空间的维数}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item {\color{red}定义：设 $V$ 是数域 $F$ 上的向量空间。设有序向量组 $\Phi=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$ 是向量空间 $V$ 的一个基。这时称 $V$ 的维数为 $n$, 记为 $\dim_F V=n$. }

\item 例子2：设 $V=\mathbb{R}^n$. 则 $\dim_\mathbb{R} V=n$. 下述向量组称为 $\mathbb{R}^n$ 的标准基，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \,\, 
e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \,\, 
\cdots,\,\, 
e_n=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
} 
\item  解答：1. 线性无关，2. 线性组合。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{20.3. 向量在一个基下的坐标}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}定义：设 $V$ 是数域 $F$ 上的向量空间。设向量组 $\Phi=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$ 是 $V$ 的一个基。设向量 $\xi\in V$. 设 $\xi = x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n$, 其中 $x_i\in F, 1\le i\le n$. 则称 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是向量 $\xi$ 在这个基 $\Phi$ 下的坐标。}

\item  注：因为 $\Phi$ 是基，所以每个向量的坐标是唯一确定的。

\item  例子3：设 $V=\mathbb{R}^2$, 设向量 $\xi=(5,6)$. 
\begin{enumerate}
\item  求 $\xi$ 在标准基 $(e_1,e_2)$ 下的坐标。
\item  求 $\xi$ 在另一个基 $(e_2,e_1)$ 下的坐标。
\end{enumerate}

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item  因为 $\xi =5e_1+6e_2$, 所以向量 $\xi$ 在标准基 $(e_1,e_2)$ 下的坐标是 $(5,6)$. 
\item  因为 $\xi =6e_2+5e_1$, 所以向量 $\xi$ 在另一个基 $(e_2,e_1)$ 下的坐标是 $(6,5)$. 
\end{enumerate}

\item  注：$(\alpha_1,\alpha_2)$ 与 $(\alpha_2,\alpha_1)$ 被认为是不同的基。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{20.4. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子4：设 $V=\mathbb{R}^2$, 设有序向量组 $\Phi=(\alpha_1=(1,0),\alpha_2=(1,1) )$. 
\begin{enumerate}
\item  证明向量组 $\Phi$ 是 $V$ 的一个基。
\item  求向量 $\xi=(5,6)$ 关于基 $\Phi$ 的坐标。
\end{enumerate}

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item  (1) $\Phi$ 是线性无关的，(2) $V$ 中的每个向量都可以写成 $\Phi$ 的线性组合。
\item  首先设所求坐标是 $(y_1,y_2)$, 按照坐标的定义，写出等式
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\xi =y_1\alpha_1+y_2\alpha_2=(\alpha_1,\alpha_2)\cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
} 然后代入具体数字，求出坐标为 $(-1,6)$. 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}
\Rightarrow
\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
} 

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{20.5. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子5：设 $V=\mathbb{R}^4$ 中的有序向量组如下， 
{\footnotesize 
$$\Phi=(\alpha_1=(1,0,0,0),\, \alpha_2=(1,1,0,0),\, \alpha_3=(1,1,1,0),\, \alpha_4=(1,1,1,1) ). $$
} 

\vspace{-0.7cm}

\begin{enumerate}
\item  证明向量组 $\Phi$ 是 $V$ 的一个基。
\item  求向量 $\xi=(4,3,2,1)$ 关于基 $\Phi$ 的坐标。
\end{enumerate}

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item  
\begin{enumerate}
\item  向量组 $\Phi$ 是线性无关的：这是因为下述线性方程组只有零解，
{\footnotesize $$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3+x_4\alpha_4=(0,0,0,0). $$ }  
\item  $V$ 中的每个向量都能写成 $\Phi$ 的线性组合：这是因为下述线性方程组有解，
{\footnotesize $$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3+x_4\alpha_4 = (y_1,y_2,y_3,y_4). $$ }  
\end{enumerate}
\item  向量 $\xi$ 关于这个基 $\Phi$ 的坐标是 $(1,1,1,1)$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{20.6.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子6：设 $V$ 是实数二阶矩阵全体组成的集合，在矩阵的加法与数乘运算下成为一个向量空间。
\begin{enumerate}
\item 求 $V$ 的一个基，求 $V$ 的维数。
\item 求向量\, {\footnotesize $\xi=\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&3 \end{pmatrix}$} 关于这个基的坐标。
\end{enumerate}

\item 解答：

\begin{enumerate}
\item 可以验证下述有序向量组是一个基，所以 $V$ 的维数是4, 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
(
\alpha_1=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix},\,\,
\alpha_2=\begin{pmatrix} 0&1 \\ 0&0 \end{pmatrix},\,\,
\alpha_3=\begin{pmatrix} 0&0 \\ 1&0 \end{pmatrix},\,\, 
\alpha_4=\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}
). 
\end{eqnarray*}
}
\item 向量 $\xi$ 在这个基 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$ 下的坐标是 $(1,2,2,3)$. 

\end{enumerate}

\end{itemize}


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{20.7. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子7：设 $V$ 是实数二阶对称矩阵全体，在矩阵的加法与数乘运算下成为一个向量空间。
\begin{enumerate}
\item 求 $V$ 的一个基，求 $V$ 的维数。
\item 求向量 {\footnotesize $\xi=\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&3 \end{pmatrix}$} 关于这个基的坐标。
\end{enumerate}

\item 解答：

\begin{enumerate}
\item 可以验证下述有序向量组是一个基（见下页），所以 $V$ 的维数是3, 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
(
\alpha_1=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix},\,\,
\alpha_2=\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix},\,\,
\alpha_3=\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} 
). 
\end{eqnarray*}
}
\item 向量 $\xi$ 在这个基 $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ 下的坐标是 $(1,2,3)$. 

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{20.8.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item {\color{blue}向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 线性无关：}
\begin{enumerate}
\item 设 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=\theta$. 
\item 代入向量的具体形式得\, 
{\footnotesize 
$k_1\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}
+k_2\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}
+k_3\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}.
$}
\item 根据矩阵的加法和数乘运算得\, 
{\footnotesize $\begin{pmatrix} k_1&k_2 \\ k_2&k_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}$}. 
\item 根据矩阵相等的定义得\, $k_1=k_2=k_3=0$. 
\end{enumerate}

\item {\color{blue}向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 的线性组合可以得到 $V$ 的所有向量：}\\
因为 $V$ 中任意一个向量可以写成 {\footnotesize $\begin{pmatrix} a&b \\ b&c \end{pmatrix}$} 的形式，其中 $a,b,c$ 是任意3个实数，而这种矩阵都可以写成向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 的线性组合的形式。
\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{20.9.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子8：记 $V=\mathbb{R}[x]_3$ 为次数不超过3的实系数多项式全体组成的集合。
则 $V$ 在多项式的加法与数乘运算下成为一个实向量空间。
\begin{enumerate}
\item  验证向量组 $\Phi=(1,x,x^2,x^3)$ 是 $V$ 的一个基。
\item  求 $V$ 的维数。
\item 求向量 $\xi=(x+1)(x+2)(x+3)$ 关于这个基的坐标。
\end{enumerate}

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item  
\begin{enumerate}
\item  向量组 $\Phi$ 是线性无关的：这由多项式相等的定义得到。
\item  $V$ 中的每个向量都能写成 $\Phi$ 的线性组合：这由 $V$ 中向量的一般形式得到。
\end{enumerate}

\item  因为向量组 $\Phi$ 是 $V$ 的一个基，它有 4 个向量，所以 $V$ 的维数是4. 

\item  向量 $\xi=(x+1)(x+2)(x+3)=6+11x+6x^2+x^3$, 所以它关于基 $\Phi=(1,x,x^2,x^3)$ 的坐标是 $(6,11,6,1)$. 

\end{enumerate}



\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{20.10. 无限维的向量空间 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item   例子9：实系数多项式全体 $V=\mathbb{R}[x]$ 是一个无限维的实向量空间。
\item   证明：
\begin{enumerate}
\item  设有限个多项式 $f_1(x),\cdots, f_n(x)$ 是 $V$ 的一个基。
\item  找到一个多项式 $f(x)\in V-L(f_1(x),\cdots, f_n(x))$. 从而矛盾。
\end{enumerate}
\item  例子10：设 $a<b$, 则定义在闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数全体 $V=C[a,b]$ 是一个无限维的实向量空间。
\item  证明：
\begin{enumerate}
\item  设有限个连续函数 $f_1(x),\cdots, f_n(x)$ 是 $V$ 的一个基。
\item  找到一个连续函数 $f(x)\in V-L(f_1(x),\cdots, f_n(x))$. 从而矛盾。
\end{enumerate}

\end{itemize}


\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{20.11.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item   {\color{red}定理：设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维向量空间。设 $\Phi_1=(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)$ 是 $V$ 中的一个线性无关的向量组，设 $r<n$. 则存在 $V$ 中的 $n-r$ 个向量 $\alpha_{r+1},\cdots,\alpha_n$ 使得 
$\Phi=(\alpha_1,\cdots,\alpha_r, \alpha_{r+1},\cdots,\alpha_n)$ 是 $V$ 的一个基。}

\item  证明：
\begin{enumerate}
\item  因为 $\dim V=n$ 而 $r<n$, 所以 $L(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)\subsetneq V$. 
\item  取 $\alpha_{r+1}\in V - L(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)$, 则向量组 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_r, \alpha_{r+1}\}$ 线性无关。
\item  若 $r+1=n$ 则证毕。
\item  若 $r+1<n$, 由 $L(\alpha_1,\cdots,\alpha_r, \alpha_{r+1})\subsetneq V$ 又可取 $\alpha_{r+2}$. 

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{20.12.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定理：设 $V$ 是数域 $F$ 上的向量空间。设 $W_1$ 与 $W_2$ 是 $V$ 的两个有限维子空间。则和子空间 $W_1+W_2$ 也是有限维子空间，而且它的维数为 
$$\dim (W_1+W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim (W_1\cap W_2). $$ }

\vspace{-0.5cm}

\item  证明：
\begin{enumerate}
\item   交子空间 $W_1\cap W_2$ 存在一个基 $\Phi=(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)$. 
\item  将 $\Phi$ 扩充为 $W_1$ 的一个基 $(\alpha_1,\cdots,\alpha_r, \beta_1,\cdots,\beta_s)$. 
\item  将 $\Phi$ 扩充为 $W_2$ 的一个基 $(\alpha_1,\cdots,\alpha_r, \gamma_1,\cdots,\gamma_t)$. 
\item  证明向量组 $(\alpha_1,\cdots,\alpha_r, \beta_1,\cdots,\beta_s,\gamma_1,\cdots,\gamma_t)$ 是 $W_1+W_2$ 的一个基。
\item  由 $r+s+t = (r+s)+(r+t)-r$ 得证。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{20.13. 课堂练习 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  验证有序向量组 $(x-1,1-x^2, x^2+2x-2, x^3)$ 是否为 $\mathbb{R}[x]_3$ 的基。
\item  求子空间 $L((2,-3,1),(1,4,2),(5,-2,4))\subseteq \mathbb{R}^3$ 的维数。


\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{20.14. 课堂练习答案 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  解答思路：验证基的两个条件。是。

\item  解答思路：求出这个向量组的一个极大线性无关组。维数为2. 

\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

